Problem 1150 --组合数学-扩展Lucas定理

1150: 组合数学-扩展Lucas定理

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Description

求组合数C(n,k)%m的值。

Input

nkm (1 ≤ n ≤ 10^180 ≤ k ≤ n2 ≤ m ≤ 1 000 000).

Output

组合数C(n,k)%m的值

Sample Input

4 2 5

Sample Output

1

HINT












Lucas定理中的p是素数,那么不是素数怎么办呢?若不是素数,将p分解质因数,将C(n,m)分别按照(1)中的方法求对p的质因数的模,然后用中国剩余定理合并。比如计算C(10,3)%14。C(10,3)=120,14有两个质因数2和7,120%2=0,120%7=1,这样用(2,0)(7,1)找到最小的正整数8即是答案,即C(10,3)%14=8。注意,这里只适用于p分解完质因数后每个质因数只出现一次,例如12=2*2*3就不行,因为2出现了两次。若p分解完质因数后,含有某个质因数出现多次,比如C(10,3)%98,其中98=2*7*7,此时就要把7*7看做一个数,即:120%2=0,120%49=22,用(2,0)(49,22)和中国剩余定理得到答案22,即C(10,3)%98=22。此时,你又会有疑问,C(10,3)%49不也是模一个非素数吗?此时不同的是这个非素数不是一般的非素数,而是某个素数的某次方。下面(4)介绍如何计算C(n,m)%p^t(t>=2,p为素数)。

(4)计算C(n,m)%p^t。我们知道,C(n,m)=n!/m!/(n-m)!,若我们可以计算出n!%p^t,我们就能计算出m!%p^t以及(n-m)!%p^t。我们不妨设x=n!%p^t,y=m!%p^t,z=(n-m)!%p^t,那么答案就是x*reverse(y,p^t)*reverse(z,p^t)(reverse(a,b)计算a对b的乘法逆元)。那么下面问题就转化成如何计算n!%p^t。比如p=3,t=2,n=19,

n!=1*2*3*4*5*6*7*8* ……*19

   =[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*(3*6*9*12*15*18)

   =[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*3^6(1*2*3*4*5*6)

然后发现后面的是(n/p)!,于是递归即可。前半部分是以p^t为周期的[1*2*4*5*7*8]=[10*11*13*14*16*17](mod 9)。下面是孤立的19,可以知道孤立出来的长度不超过 p^t,于是暴力即可。那么最后剩下的3^6啊这些数怎么办呢?我们只要计算出n!,m!,(n-m)!里含有多少个p(不妨设a,b,c),那么a-b-c就是C(n,m)中p的个数,直接算一下就行。

至此整个计算C(n,m)%p(p为任意数)的问题完美解决。





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